Методи математичної фізики

 Курс присвячений рівнянням в частинних похідних другого порядку і пов'язаним з ними метматичним методам.

Орієнтований на фізиків.

Лекційних годин: 68 години

Практичних занять: 68 годин

Самостійна робота: 152 години

ECTS credits: 
0
2 course (4 term)
3 course (5 term)
Course program: 

МОДУЛЬ 1. Частина I. Вступ до математичної фізики: найпростіші рівняння МФ та метод відокремлення змінних.
Розділ 1. Хвильове рівняння та задачі для нього.
1.    Хвильове рівняння та його властивості, хвильове поле. Фізичні системи, що описуються хвильовим рівнянням: одновимірне пружне середовище, коливання струни, приклади з механіки суцільного середовища та електродинаміки. Фізичний смисл хвильового поля, його похідних та хвильового рівняння.
2.    Рівняння в частинних похідних (РЧП) і задача для РЧП. Класичний розв’язок диференціального рівняння. Коректно поставлена задача для РЧП, приклади некоректно поставлених задач з курсу. Перша крайова задача для хвильового рівняння на відрізку, межові та початкові умови, вимоги до розв’язку задачі. Дані задачі й вимоги до них. Межові умови I, II і III роду та їх фізичний смисл у різних моделях, однорідні й неоднорідні межові умови. Фізична постановка задачі та співвідношення між фізичною і математичною постановками.
Розділ 2. Метод відокремлення змінних (МВЗ) та ряди Фур'є.
3.    Поле в резонаторі. Основна допоміжна задача методу відокремлення змінних. Алгоритм відокремлення змінних, задача Штурма-Ліувілля, власні моди та їх фізичний смисл. Моди найпростіших одновимірних резонаторів. Перевірка правильності знаходження власних функцій, використання осциляційної теореми.
4.    Задача про вільні коливання поля в резонаторі при заданих початкових умовах. Постановка задачі, загальний (формальний) розв’язок, формальна процедура задоволення початкових умов. Ортогональність власних функцій задачі Штурма-Ліувілля. Ряд Фур’є за системою ортогональних функцій.
Розділ 3. Рівняння теплопровідності та рівняння Лапласа.
5.    Рівняння теплопровідності. Дифузія на прямій, рівняння дифузії і теплопровідності, їх можливі узагальнення.
6.    Постановка задач для рівняння теплопровідності, загальні властивості розв’язків.
7.    Рівняння Лапласа і Пуассона. Фізичні системи, що описуються цими рівняннями. Задачі Діріхле і Неймана.
МОДУЛЬ 2. Частина 2. Основні методи розв'язання задач
Розділ 4. Принцип суперпозиції та задачі з різними видами джерел поля
8.    Принцип суперпозиції в лінійних задачах МФ: поле і його джерела, характер зв’язку між ними. Розкладання розв’язку на складові за видами джерел поля, зведення загальної задачі до задач з окремими видами джерел. Методи розв’язання задач математичної фізики як варіанти реалізації принципу суперпозиції.
9.    Метод частинних розв'язків, взаємозв'язки між задачами з різними видами джерел, перетворення одних задач в інші.
10.    Метод розкладання за власними функціями, нормальні координати поля. Два варіанти його реалізації на прикладі задачі з неоднорідним рівнянням і задачі з неоднорідними межовими умовами для хвильового рівняння на відрізку..
Розділ 5. Метод характеристик
11.    Метод характеристик. Загальний розв’язок одновимірного хвильового рівняння та його фізична інтерпретація як суперпозиції хвиль з протилежними напрямками поширення, основні властивості хвиль в даній моделі, їх зв’язок з властивостями моделі. Модова і хвильова картини поля.
12.    Задача про вільні коливання нескінченної струни. Постановка задачі, формула Даламбера, її фізична інтерпретація, фазова площина, характеристичний трикутник, причинність, поняття про світловий конус.
13.    Збереження парності для нескінченної струни і метод непарного продовження для напівнескінченної струни, його застосування до інших рівнянь і задач.
14.    Використання загального розв’язку хвильового рівняння у вигляді суперпозиції зустрічних хвиль до задач для напівнескінченної струни: про поширення межового режиму і про відбивання імпульсів.
Розділ 6. Інтегральні перетворення та функції Гріна окремих задач
15.    Інтегральне перетворення Фур’є та його властивості. Приклад застосування: задача про поширення тепла на необмеженій прямій, особливості її постановки та розв’язок у вигляді інтеграла Фур’є.
16.    Представлення розв'язків деяких одновимірних задач через функцію Гріна (ФГ). ФГ одновимірної задачі про поширення тепла на необмеженій прямій, її фізичний смисл та властивості. Поняття про  - функцію (формальне означення і властивості) та узагальнений розв'язок. Приклади ФГ одновимірних задач, розв’язаних методом відокремлення змінних і методом характеристик. Представлення розв’язку задачі з неоднорідним рівнянням через ФГ.
17.    Інтегральне перетворення Лапласа і його властивості. Означення і механізм дії на прикладі функції  , аналітичні властивості зображення, приклади зображень окремих функцій. Спільне й відмінне між перетвореннями Лапласа і Фур’є, зв’язок між ними.
18.    Приклад застосування перетворення Лапласа: крайові задачі з неоднорідними межовими умовами. Метод Дюамеля, поверхневі функції Гріна.
Розділ 7. Елементарні симетрійні методи.
19.    Перетворення симетрії, симетрія фізичної системи і математичної моделі, їх наслідки та використання. Наслідки симетрії для неоднорідної крайової задачі, що має єдиний розв’язок, для спектральної (однорідної) крайової задачі, для коефіцієнтів Фур’є.
МОДУЛЬ 3. Частина 3. Рівняння, задачі, методи: загальні питання.
Розділ 8. Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних, приведення до простішого або стандартного вигляду.
20.    Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних (ДРЧП), рівняння гіперболічного, параболічного й еліптичного типів, приведення їх до канонічного вигляду.
21.    Приведення до простішого вигляду лінійних ДРЧП другого порядку зі сталими коефіцієнтами, 5 лінійних рівнянь з двома змінними, які не зводяться до простіших. Приведення рівнянь до самоспряженого вигляду.
Розділ 9. Спектральні задачі з дискретним спектром та ряди Фур'є.
22.    Властивості ортонормованої послідовності функцій, ряд Фур’є за системою ортогональних функцій, нерівність Бесселя, замкненість і повнота ортогональної системи функцій. Достатні умови збіжності ряду Фур’є даної функції до тієї ж функції.
23.    Одновимірна задача Штурма-Ліувілля. Її походження (механічна модель, квантова механіка), загальна постановка, обмеження на коефіцієнти і їх фізичний смисл. Встановлення співвідношення ортогональності, загальні властивості власних функцій і власних значень.
МОДУЛЬ 4. Частина 4. Просторові задачі, задачі в криволінійних координатах та спеціальні функції.
Розділ 10. Рівняння МФ в криволінійних координатах.
24.    Відокремлення змінних в рівнянні Лапласа в полярних координатах. Власні функції оператора Лапласа на одиничному колі. Задача Діріхле для круга.
25.    Відокремлення змінних в рівнянні Лапласа в сферичних координатах. Сферичні функції як власні функції оператора Лапласа на одиничній сфері. Частинні розв’язки та загальний розв'язок рівняння Лапласа в сферичній СК.
26.    Відокремлення змінних в рівнянні Гельмгольца в полярних координатах. Диференціальне рівняння Бесселя та його розв'язки. Частинні розв'язки рівняння Гельмгольца в полярних координатах.
27.    Відокремлення змінних в рівнянні Гельмгольца в сферичних координатах. Сферичні функції Бесселя. Частинні розв'язки рівняння Гельмгольца в сферичних координатах.
Розділ 11. Циліндричні функції.
28.    Диференціальні рівняння для спеціальних функцій, загальні властивості. Особливі точки диференціальних рівнянь. Поведінка розв’язків диференціального рівняння в околі особливої точки. Постановка крайових задач для диференціальних рівнянь з особливими точками.
29.    Диференціальне рівняння Бесселя. Поведінка розв’язків при малих і великих значеннях аргументу (якісний аналіз рівняння). Розв'язок у вигляді узагальненого степеневого ряду. Функція Бесселя, графіки функцій Бесселя.
30.    Фундаментальна система розв’язків рівняння Бесселя. Частинні випадки та графіки циліндричних функцій.
31.    Ортогональні системи функцій, побудовані з функцій Бесселя. Обчислення квадрата норми.
32.    Перша й друга інтегральні формули Гріна та наслідки з них. Теореми єдиності розв’язку задач Діріхле та Неймана.
33.    Загальні властивості власних функцій оператора Лапласа. Ортогональність функцій Бесселя як наслідок властивостей оператора Лапласа. Метод розкладання за власними функціями в просторових задачах. Узагальнення результатів на еліптичні оператори більш загального вигляду.
34.    Інтегральне представлення Бесселя. Твірна функція.
35.    Асимптотичний вигляд функцій Бесселя при великих значеннях аргументу. Фізична інтерпретація циліндричних функцій як циліндричних хвиль.
36.    Наближення функції   рядом при великих значеннях аргументу. Поняття про асимптотичні ряди.
37.    Модифіковані функції Бесселя.
МОДУЛЬ 5. Спеціальні функції – 2.
Розділ 15. Ортогональні многочлени і сферичні функції.
38.    Поліноми Ерміта. Твірна функція, диференціальна формула, елементарні властивості та графіки. Диференціальне рівняння для поліномів Ерміта. Ортогональність і норма. Одновимірний квантовий гармонічний осцилятор і функції Ерміта, графіки хвильових функцій осцилятора.
39.    Поліноми Лагерра. Функції Гаусса-Лагерра. Квантовомеханічні задачі, розв’язки яких виражаються через поліноми Лагерра.
40.    Поліноми Лежандра. Твірна функція. Формула Родріга. Елементарні властивості та графіки. Диференціальне рівняння та задача на власні значення.
41.    Ортогональність поліномів Лежандра. Обчислення квадрата норми. Повнота системи ортогональних поліномів на скінченному проміжку. 
42.    Розкладання потенціалу точкового заряду за поліномами Лежандра та його особливості. Симетрія оператора Лапласа і його розв’язки.
43.    Похідні поліномів Лежандра, приєднані функції Лежандра та їх зв’язок із задачею на власні функції кутової частини оператора Лапласа в сферичних координатах.
44.    Сферичні функції (СФ). Явний вигляд, ортогональність і нормування. СФ як спільна система власних функцій кількох операторів, зв’язок з квантовою механікою і симетрією відносно обертань, теорема додавання для СФ (без доведення). Частинні випадки СФ. Фізична інтерпретація СФ як хвиль на сфері. Кругові орбіти в атомі водню.
Частина 5. Узагальнені функції та функції Гріна.
Розділ 16. Узагальнені функції та фундаментальні розв’язки.
45.    Узагальнені функції:  – функція, поняття слабкої границі. Представлення  – функціЇ інтегралом та рядом Фур’є. Диференціювання узагальнених функцій. Узагальнені розв'язки диференціальних рівнянь і задач.
46.    Фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа. Основна інтегральна формула Гріна та наслідки з неї, теорема про середнє та принцип максимуму (самостійно - див. Тихонов, Самарский) для гармонічних функцій.
МОДУЛЬ 6. Функції Гріна та додаткові розділи МФ.
Розділ 17. Представленння розв'язків крайових задач через функції Гріна.
47.    Функції Гріна: представлення розв’язків еволюційних крайових задач з однорідними межовими умовами.
48.    Функції Гріна: представлення розв’язків стаціонарних крайових для рівнянь еліптичного типу з однорідними і неоднорідними межовими умовами. Задачі з нульовими модами.

49. Представлення розв’язків еволюційних крайових задач з неоднорідними межовими умовами.
49.    Операторний погляд на математичну фізику. Лінійний оператор як математичний об’єкт з певними властивостями, матриця оператора. Диференціальні крайові задачі в обмеженій області як задачі для відповідного оператора. Обернений оператор і функція Гріна. Резольвента  оператора і його спектр. Власні функції оператора як базис, симетричний, ермітово спряжений і самоспряжений оператори, оператор проектування, спектральні представлення оператора, оберненого оператора (функції Гріна) і резольвенти. Образ Лапласа функції Гріна рівняння теплопровідності і резольвента, зв’язок з методом відокремлення змінних.

 

Knowledge tests: 

Залік, іспит (6 модулів за модульно-рейтинговою системою)

Literature: 

Основна

1.    Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.
2.    Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.
3.    Михлин С.Т. Интегральные уравнения. – М.: Наука, 1970.
4.    Юрачківський А.П., Жугаєвич А.Я. Математична фізика в прикладах і задачах. – К: ВПЦ «Київський університет», – 2005. – 157 с.
5.    Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1987. 1972.
6.    Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. –М.: Изд-во МУ, 1998.
7.    Колоколов И.В. и др. Задачи по математическим методам физики. –М.: Эдиториал УРСС, 2002. – 288 с.
8.    Доценко І.С., Якименко О.І. Методи математичної фізики: методичний посібник для студентів фізичного факультету. – К.: ВПЦ «Київський університет», 2007. – 50 с.
9.    Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.

10. "Методи математичної фізики: методичні вказівки до практичних занять та самостійної роботи для студентів фізичного факультету"/ Упорядник В.М. Хотяїнцев. - Київ: ВПЦ "Київський університет", 2010.-66 (версія від 10.02.2012).

Додаткова

1.    Перестюк М.О. Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики. Курс лекцій. – К.: Либідь, 1993.
2.    Перестюк М.О.    Теорія рівнянь математичої фізики: Підручник/ М.О.Перестюк, В.В.Маринець.- К.: "Либідь", 2006.- 424 с.
3.    Несис Е.И. Методы математической физики. – М. Просвещение, 1977.
4.    Фарлоу C. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 248 с.
5.    Вірченко Н.О. Основні методи розв’язання задач математичної фізики. – К. КПІ, 1997. – 370 с.
6.    Годунов С.К. Уравнения математической физики (2-е изд. ). – М.: Наука 1979.
7.    Кошляков Н.С. Глинер Э.Б. Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970.
8.    Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высшая школа, 1977.
9.    Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Фазис, 1997.
10.    Свешников А. Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. –М.
11.    Никифоров А.Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. – М.: 1974. – 304 с.
12.    Никифоров А.Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. – М.: 1978. – 320 с.
13.    Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
14.    Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Физматлит, 2001.
15.    Метьюз Дж., Уокер Д. Математические методы в физике. – М.: Атомиздат, 1972.
16.    Соболев С.Л. Уравнения математической физики (4-е издание). М.: Наука, 1966.
17.    Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.
18.    Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990.
19.    Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т.1,. – М.: Мир, 1982.
20.    Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т.2,. – М.: Мир, 1984.
21.    Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том 1. М.-Л.: ГТТИ, 1933.
22.    Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том 2. М.-Л.: ГТТИ, 1945.
23.    Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Том 1. М.: ИЛ, 1958.
24.    Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Том 2. М.: ИЛ, 1960.
25.    Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002.
26.    Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. М.: Факториал, 1999.
27.    Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Факториал, 2000.
28.    Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. М.: Факториал, 1998.
29.    Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969.
30.    Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: Преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций М.: Наука, 1970.
31.    Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1970.
32.    Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. – М.: Наука, 1979.
33.    Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, том 1. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1967.
34.    Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, том 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1967.