Методи теорії груп Лі

Лекційних годин: 36 години

Практичних занять: 18 годин

4 course (7 term)
Course program: 
  1. Неперервнi групи. Локальна параметризацiя, групи Лi як аналiтичний многовид. Топологiя групи. Зв'язнiсть i накриття. Приклади неперервних груп.
  2. Група обертань та її накриття групою SU(2). Кути Ейлера. Гомотопiчна група та унiверсальне накриття.
  3. Групи просторово-часових симетрiй: група Лоренца та її накриття групою SU(2).
  4. Група Пуанкаре та комформна група. Конформна компактифiкацiя простору Мiнковського.
  5. Локальне дослiдження груп Лi. Векторнi поля на групi. Алгебра Лi. Приєднане представлення. Структурнi константи.
  6. Однопараметричнi пiдгрупи. Експоненцiальне вiдображення. Iлюстрацiя на прикладi матричних груп.
  7. Формула Кемпбела-Гаусдорфа. Побудова групи Лi за даною алгеброю Лi.
  8. Диференцiальна геометрiя групового многовиду. Лiвоiнварiантнi зв’язностi та геодезичнi групи Лi. Iнварiантна метрика та iнварiантний iнтеграл.
  9. Симетрiї гамiльтонових систем. Iнтеграли руху. Гамiльтоновi системи на орбiтах коприєднаного представлення.
  10. Основнi положення загальної теорiї представлень груп та алгебри Лi. Представлення алгебри Лi групи обертань. Теорiя кутового моменту.
  11. Реалiзацiя представлень групи SU(2). в просторi полiномiв вiд однiєї комплексної змiнної та в просторi функцiй на сферi. Iнварiантний скалярний добуток.
  12. Матричнi елементи незвiдних представлень групи. Груповий пiдхiд до теорiї сферичних функцiй. Гармонiчний аналiз на сферi та групi.
  13. Характери незвiдних представлень групи обертань. Звуження представлень до дискретних пiдгруп. Задача: атом в молекулярному полi.
  14. Тензорнi добутки представлень групи SU(2) та їх розклад на незвiднi. Коефiцiєнти Клебша-Гордана.
  15. Тензорнi оператори. Теорема Вiгнера-Еккарта i її застосування.
  16. Представлення алгебри Лi групи Лоренца. Основна та додаткова серiї унiтарних представлень.
  17. Представлення групи SU(2) в просторi функцiй вiд однiєї комплексної змiнної. Основна неунiтарна серiя представлень. Процедура унiтаризацiї.
  18. Iндукованi представлення: загальнi поняття. Iндукованi представлення групи Лоренца та Пуанкаре.
  19. Структура алгебри Лi групи SU(3). Поняття про корньовi вектори. Корньова дiаграма.
  20. Елементи класифiкацiї напiвпростих груп Лi. Схеми Динкiна.
  21. Вагова теорiя незвiдних представлень компактних напiвпростих груп Лi.
  22. Унiтарна симетрiя в теорiї елементарних частинок. Унiтарнi мультиплети. Масовi формули.
  23. Калiбрувальна група. Методи теорiї нескiнченно параметричних груп в сучаснiй теорiї поля. Група Вiразоро.
Knowledge tests: 

Іспит

Literature: 
  1. П.I. Голод, А.У. Клiмик. Математичнi основи теорiї симетрiї. - "Наукова думка", 1992.
  2. Л.С. Понтрягин. Непрерывные группы.- "Наука", 1973.
  3. Т.Я. Любарский. Теория групп и ее применение в физике. - М. "Гостехиздат", 1957.
  4. Н.Я. Виленкин. Специальные функции и теория представлений.
  5. Б. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия.
  6. А.А. Кириллов. Элементы теории представлений. "Наука", 1978.