Основи векторного та тензорного аналізу

Лекційних годин: 17 години

Практичних занять: 17 годин

Самостійна робота: 38 годин

2 course (3 term)
Course program: 
  1. Означення вектора та основні операції над векторами в безкоординатному підході. Координати вектора в прямокутній декартовій системі координат (ПДСК). Операції над векторами в координатному підході. Правила запису індексних виразів, вільні та німі індекси.
  2. Матриця переходу та її властивості. Закон перетворення компонент вектора при заміні ортонормованого базису. Означення вектора в координатному підході.
  3. Означення тензора. Закон перетворення компонент тензора. Тензор проектування. Тензорний (зовнішній) добуток векторів. Лінійний оператор як тензор. Одиничний тензор. Означення тензора рангу n.
  4. Алгебраїчні операції над тензорами. Елементарні лінійні операції. Добутки і згортки. Перестановка індексів, симетричні та антисиметричні тензори. Обернена тензорна ознака. Інваріантність тензорних рівнянь.
  5. Тензори рангу 2. Обернений тензор. Власні вектори та власні (головні) значення тензора рангу 2. Інваріанти тензора 2 рангу. Головні значення та головна система координат симетричного тензора рангу 2.
  6. Псевдовектори та псевдотензори. Символи Леві-Чівіта. Антисиметричний тензор 2 рангу як псевдовектор.
  7. Cкалярне поле. Поверхні та лінії рівня. Похідна за напрямком. Градієнт скалярного поля.
  8. Векторне поле. Векторні лінії. Диференціальні рівняння векторних ліній. Похідна від вектора по напрямку. Потенціальне векторне поле. Лінійний інтеграл від вектора. Циркуляція векторного поля. Теорема Стокса. Ротор (вихор) векторного поля. Соленоїдальне поле. Потік векторного поля через поверхню. Теорема Гаусса-Остроградського. Дивергенція векторного поля. Основна теорема векторного аналізу.
  9. Вектори і тензори в косокутних декартових системах координат. Коваріантні та контраваріантні координати вектора. Фундаментальна матриця (метричний тензор). Векторний і змішаний добуток в косокутних декартових системах координат. Взаємний базис. Тензори в косокутних декартових системах координат.
  10. Криволінійні системи координат (локальний базис, метричний тензор, координатні лінії, координатні поверхні, геометричний зміст локального базису). Ортогональні криволінійні системи координат (“фізичний” базис, параметри Ламе). Вектори і тензори в криволінійній системі координат. Символи Кристоффеля (коефіцієнти зв’язності). Коваріантне диференціювання векторних та тензорних полів. Коваріантна похідна. Теорема Річчі.
  11. Векторні диференціальні операції, оператор Гамільтона “набла”. Векторні диференціальні операції в криволінійних системах координат (градієнт, дивергенція, ротор, оператор Лапласа). Узагальнені теореми Остроградського і Стокса.

 

Knowledge tests: 

Залік

Literature: 
  1. М. А. Разумова, В. М. Хотяїнцев «Основи векторного і тензорного аналізу: навчальний посібник». – Київ: ВПЦ «Київський університет», 2011
  2. М. Ф. Ледней, М. А. Разумова, О. В. Романенко, В. М. Хотяїнцев «Збірник задач з векторного та тензорного числення». – Київ: ВПЦ «Київський університет», 2010
  3. А.И.Борисенко, И.Е.Тарапов «Векторный анализ и начала тензорного исчисления». – Харьков 1986.
  4. П.К.Рашевский «Риманова геометрия и тензорный анализ». – М.: Наука. 1964.
  5. Н.Е.Кочин «Векторное исчисление и начала тензорного исчисления». – М. 1961.
  6. Г.В.Коренев «Тензорное исчисление». – М.: Изд-во МФТИ. 2000, 240 c.
  7. М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко «Векторный анализ». – М.: Наука. 1978.
  8. А.М.Анчиков «Основы векторного и тензорного анализа». – Изд-во Казанского университета. 1988. 134 с.