Теорія випадкових процесів

Лекційних годин: 18 години

Практичних занять: 18 годин

Самостійна робота: ?? годин

4 course (7 term)
Course program: 
  1. Загальне поняття умовного сподівання і умовної ймовірності. Умовне сподівання як часткове усереднення. Властивості умовного сподівання. Загальна формула повної ймовірності. Потоки -алгебр, моменти зупинки.
  2. Базові поняття теорії. Означення випадкової функції, системи скінченновимірних розподілів, коваріаційної та кореляційної функцій. Гауссові випадкові функції.
  3. Процеси з незалежними приростами (ПНП). Загальний вигляд характеристичної функції ПНП. Два основні приклади ПНП: вінерів і пуассонів процеси. Лічильна міра, пов’язана з узагальненим пуассоновим процесом. Теорема Леві – Хінчина про загальний вигляд стохастично неперервного ПНП.
  4. Марковські процеси. Формальне означення і фізичний смисл марковської властивості. Перехідна функція. Рівняння Чепмена – Колмогорова. Еволюційні та інфінітезимальні оператори. Зворотне і пряме рівняння Колмогорова. Конкретизації: рівняння Фоккера – Планка і Феллера. Ланцюги Маркова з неперервним часом, рівняння для перехідних імовірностей і одновимірних розподілів.
  5. Стаціонарні процеси. Зв’язок строго стаціонарних процесів зі зберігаючими міру перетвореннями. Індивідуальна ергодична теорема. Елементи спектрально-кореляційної теорії стаціонарних у широкому розумінні процесів.
  6. Мартингали. Означення і основні приклади. Елементарні властивості. Теорема про вибір. Мартингальні нерівності. Теорема про існування границі. Субмартингали, компенсатори. Квадратична характеристика мартингала.
  7. Елементи стохастичного аналізу. Стохастичний інтеграл і його властивості. Формула Іто. Приклади розв’язування стохастичних диференціальних рівнянь. Марковість розв’язків рівнянь без загаювання. Формула Фейнмана – Каца.
Knowledge tests: 

Залік

Literature: 
  1. Гихман И. И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов.
  2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов.
  3. Гардинер К.В. Стохастические методі в естествознании.
  4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2.