Додаткові розділи теорії функцій комплексної змінної

Лекційних годин: 17 години

Практичних занять: 17 годин

Самостійна робота: 38 годин

3 курс (5 семестр)
Программа курса: 
  1. Голомофні функції. Область на комплексній площині. Межова точка. Порядок зв’язності області. Теорема Коші для однозв’язної та багатозв’язної області. Інтегральна формула Коші. Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена точка. Лема Жордана. Основна теорема теорії лишків. Декілька основних прийомів обчислення інтегралів від функцій дійсної змінної з застосуванням теорії лишків.

  2.  Аналітичне продовження. Єдиність визначення аналітичної функції. Побудова аналітичного продовження. Поняття про ріманові поверхні. Багатозначні функції. Точки розгалуження. Регулярні гілки аналітичних функцій. Обчислення з застосуванням теорії лишків інтегралів, що містять багатозначні функції. Приклади. Інтегральні представлення Гамма-функції.

  3. Методи операційного числення. Відновлення оригіналу за зображенням. Формула Мелліна. Спосіб визначення оригіналу регулярної на нескінченності функції.

  4.  Асимптотичні послідовності. Визначення Пуанкаре асимптотичного розкладу. Асимптотичні степеневі ряди та їх властивості. Метод інтегрування частинами як метод отримання асимптотичного розкладу. Асимптотичні формули для неповної гамма-функції та функції похибок. Асимптотичні вирази для обернених перетворень Лапласа для великих і малих t.

  5.  Метод Лапласа та його застосування для асимптотичної оцінки інтегралів. Метод стаціонарної фази. Метод перевалу. Застосування методу перевалу для асимптотичної оцінки інтегралів.

  6. Принцип аргументу. Теорема Руше. Знаходження числа нулів функції в заданій області.

  7. Розклад мероморфної функції на прості дроби.

Контроль знаний: 

залік (2 модулі за модульно-рейтинговою системою)

Литература: 

Основна

  1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979. 320 с.
  2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
  3. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989. 480 с.
  4. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1970. 736 с.
  5. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978.
  6. Мартыненко В.С. Операционное исчисление. Киев. Изд-во КГУ, 1968, 198 с.

Додаткова

  1. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.
  2. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Фитматгиз, 1961.
  3. Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука.
  4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.3, ч.2. М.: Наука, 1974. 672 с.
  5. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.