Програмування та математичне моделювання

Програмування та математичне моделювання

Лекційних годин: 54 години

Практичних занять: 35 годин

Самостійна робота: 90 годин

Кредиты ECTS: 
0
1 курс (2 семестр)
2 курс (3 семестр)
Программа курса: 
  1. Вступ
    Предмет та задачі обчислювальної математики. Комп'ютерна арифметика.
    Математична та числова моделі. Похибки обчислень. Похибка методу та похибка заокруглення.
    Комп'ютерна арифметика (огляд правил). Операції з плаваючою точкою.
    Машинний нуль, машинний епсілон, катастрофічна втрата розрядів.
     
  2. Задача інтерполяції у класі поліномів.
    Постановка задачі інтерполяції. Клас поліномів.
    Базис Тейлора. Базис Лагранжа, представлення Ейткена.
    Базис Ньютона.
    Скінчені та розділені різниці.
    Базис Ньютона для рівновіддалених вузлів (формула Тейлора).
    Похибка інтерполяції.
    Поліноми Чебишова, основні властивості.
    Теореми про збіжність інтерполяційного процесу (формулювання).
    Інтерполяція сплайнами. Сплайни 3-го порядку.
    Способи вибору додаткових умов.
    Вільні сплайни, властивість мінімальної середньої кривизни.
    Побудова сплайн-інтерполянту для нерівномірної мережі.
    Поняття базового сплайну.
    Побудова сплайн-інтерполянту для рівномірної мережі.
    Збіжність процесу інтерполяції сплайнами.
     
  3. Апроксимація функцій.
    Постановка задачі апроксимації. Метричні, нормовані, евклідові простори.
    Критерій "найкращого наближення" функції.
    Апроксимація методом найменших квадратів у класі поліномів для функцій дискретної та неперервної змінної. Використання ортогональних поліномів.
    Поняття про рівномірну апроксимацію у нормі Чебишова.
    Тригонометричні апроксимації, апроксимація Паде (означення та область застосування).
    Принцип максимуму ентропії.
     
  4. Квадратурні формули.
    Задача чисельного інтегрування.
    Поняття квадратури. Похибка. Поняття алгебраїчної точності.
    Метод невизначених коефіцієнтів.
    Квадратурні формули Ньютона-Котеса.
    Властивість симетрії розподілу вузлів. Точність квадратур з симетричними вузлами.
    Квадратурні формули Ньютона-Котеса. Квадратури Чебишова.
    Формули прямокутників, трапецій, парабол зі сталим кроком. Оцінка похибок.
    Загальна постановка задачі про квадратури. Квадратурні формули Чебишова.
    Квадратури Гаусса. Складові квадратурні формули. Квадратури з ваговими множниками.
    Квадратурні формули Гаусса.
    Складові квадратурні формули прямокутників, трапецій, парабол.
    Апостеріорна оцінка похибки квадратурних формул за Рунге.
    Квадратурні формули з ваговими множниками.
    Квадратури Чебишова, Ерміта, Лагерра (загальні поняття).
    Задача пошуку екстремуму функції.
    Задача пошуку одновимірного мінімуму.
    Метод Фібоначчі.
    Метод золотого перерізу.
    Метод покоординатного та найшвидшого спусків.
    Методи другого порядку.
     
  5. Розв'язування рівнянь
    Методи розв'язку рівнянь з однією невідомою.
    Швидкість збіжності методу. Похибка методу.
    Метод половинного поділу.
    Метод дотичних (Ньютона) та його модифікації.
    Метод хорд. Комбіновані методи (алгоритм ZEROIN).
    Метод простої ітерації, теорема Банаха.
    Системи алгебраїчних рівнянь.
    Метод виключення (Гауса).
    Метод уточнення розв'язку.
    Задача обернення матриць.
    Метод LU-розкладу.
    Перестановки у методі Гаусса, вибір ведучого елементу.
    Розріджені системи рівнянь.
    Метод прогонки для тридіагональніх систем рівнянь.
    Умови збіжності методу (умова діагонального домінування).
    Ітераційні методи.
    Норма та обумовленість матриць.
    Ітераційні методи, метод Зейделя.
    Нелінійні системи рівнянь, Метод Ньютона.
     
  6. Розв'язування диференціальних рівнянь (задача Коші).
    Наближені аналітичні методи: розклад у степеневий ряд, метод послідовних наближень.
    Глобальна та локальна похибки розв'язку диференційного рівняння.
    Поняття стійкісті розв'язку.
    Методи Ейлера.
    Однокрокові методи розв'язування диференціальних рівнянь.
    Методи Ейлера - явний та неявний.
    Оцінка похибки та стійкість.
    Модифікації методу Ейлера, cхеми предиктор-коректор.
    Методи Рунге-Кутта нижчих порядків.
    Явне виведення формул Рунге-Кутта для другого порядку.
    Способи апостеріорної оцінки похибки Рунге.
    Вкладемі формули Рунге-Кутта, метод Рунге-Кутта-Мерсона.
    Багатокрокові методи. Методи Адамса та Мілна.
    Багатокрокові методи. Використання квадратурних формул.
    Метод Адамса. Метод Мілна.
    Оцінка похибки та стійкість для нижчих порядків.
    Системи диференціальних рівнянь.
    Диференціальні рівняння вищих порядків, зведення до системи першого порядку.
    Приклади з фізики.
    Поняття про жорсткі системи диференціальних рівнянь.
     
  7. Задача Штурма-Ліувіля для диференціальних рівнянь.
    Задача Штурма-Ліувіля.
    Метод стрільби. Дискретні методи,
    використання сплайнів.
    Напівдискретні методи: метод коллокацій, метод ортогональних проекцій.
     
  8. Методи розв'язку інтегральних рівнянь.
    Методи розв'язку інтегральних рівнянь.
    Метод послідовних наближень.
    Метод скінчених сум.
    Метод вироджених ядер.
    Метод найменших квадратів.
    Метод коллокацій.
    Метод моментів.
     
  9. Диференціальні рівняння у частинних похідних.
    Диференціальні рівняння у частинних похідних у фізиці. Типи диференціальних рівнянь (класифікація за процесами, що ними описуються).
    Метод відокремлення змінних: неперервний та дискретний випадки.
    Різницеві схеми для рівняння дифузії. Точність та умови збіжності.
    Різницеві схеми для хвильового рівняння та рівняння Лапласа.
    Обчислювальні методи у теоретичній фізиці. Моделювання фізичних процесів.
    Обчислювальні задачі, які не розглянуто у курсі (статистичне моделювання та інші - огляд постановки задачі).

 

Контроль знаний: 

Залік (2 семестр 1-го курсу), екзамен (1 семетр 2-го курсу)

Литература: 

Основна

  1. В. И. Приклонский, Лекции по численным методам, М., Издательство МГУ, 2000.
  2. В. А. Буслов, С. Л. Яковлев, Численные методы, I, II, М., Издательство СпбГУ, 2001.
  3. С. М. Єжов, Методи обчислень, К. ВПЦ ``Київський університет'', 2000.
  4. А. А. Самарский, Введение в численные методы, М., Наука, 1987.
  5. Е. А. Волков, Численные методы, М., Наука, 1987.

Додаткова

  1. Н. С. Бахвалов, Численные методы, I, М., Наука, 1975.
  2. Р. В. Хемминг, Численные методы, М., Наука, 1972.
  3. Дж. Ортега, У. Пул, Введение в численные методы решения дифференциальних уравнений, М., Наука, 1986.
  4. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер, Машинные методы вычислений, М., ``Мир'', 1980.
  5. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш, Численные методы и программное обеспечение, М., ``Мир'', 1998.
  6. Д. Поттер, Вычислительные методы в физике, М., Мир, 1975.
  7. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ, М., 1976.
  8. Д. Мак-Кракен, У. Дорн, Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ, М., 1977.