Елементи теорії симетрії

Лекційних годин: 34 години

Практичних занять: 17 годин

Самостійна робота: ?? годин

3 курс (6 семестр)
Програма курсу: 
  1. Групи i симетрiї. Основнi поняття теорiї груп. Приклади. Пiдгрупи, сумiжнi класи, теорема Лагранжа та її наслiдки. Способи задання групи: породжуючi елементи та спiввiдношення. Теорема Келi, таблицi Келi.
  2. Гомоморфiзми та iзоморфiзми груп. Iнварiантнi пiдгрупи, фактор групи. Класи спряжених елементiв.
  3. Дiя групи на рiзних множинах. Групи перетворень та групи симетрiї. Однорiднi простори, стацiонарнi пiдгпупи.
  4. Прямi та напiвпрямi добутки груп. Поняття про розширення груп. Простi, напiвпростi, нiльпотентнi та розв’язнi групи.
  5. Група перестановок. Цикли та транспозицiї. Класи спряжених елементiв. Схема Юнга.
  6. Група ортогональних перетворень простору Е . Параметризацiя обертань. Теорема Ейлера про вiсь обертання. Групи симетрiй правильних многогранникiв та їх зв”язок з групами перестановок.
  7. Повний список дискретних пiдгруп в групi обертань. Точковi групи.
  8. Евклiдова група та її дискретнi пiдгрупи. Кристалiчнi гратки. Класифiкацiя кристалографiчних груп на площинi та в просторi. Симморфнi та несимморфнi групи. Квазiкристали.
  9. Асоцiативнi алгебри та алгебри Лi. Алгебри Клiффорда та Грасмана.
  10. Елементи теорiї представлень: звiднiсть, повна звiднiсть, еквiвалентнiсть та унiтарнiсть. Матричнi елементи та характери. Лема Шура та її наслiдки. Ортогональнiсть матричних елементiв та характерiв незвiдних представлень.
  11. Розклад та незвiднi представлення, кратностi. Регулярне представлення. Критерiй незвiдностi. Повнота характерiв.
  12. Побудова незвiдних представлень груп симетрiй правильних многогранникiв та iнших точкових груп. Представлення групи перестановок. Таблицi характерiв.
  13. Тензорнi добутки представлень. Розклад на незвiднi. Коефiцiєнти Клебша-Гордана для деяких скiнченних груп.
  14. Коливання багатоатомних молекул: класична i квантова задачi. Роль симетрiї. Класифiкацiя коливних мод за незвiдними представленнями груп симетрiй. Задачi.
  15. Одноелементнi стани багатоатомних молекул. Груповi мультиплети. Стiйкiсть та нестiйкiсть симетричних конфiгурацiй. Порушення симетрiї. Ефект Яна-Теллера.

 

Контроль знань: 

Екзамен

Література: 
  1. Дж.Эллиот, П.Добер. Симметрия в физике.”Мир”, 1983, т. 1.
  2. П.Голод, А.Клімик. Математичнi основи теорiї симетрiй.- “Наукова думка”, 1992.
  3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика.- “Наука”, 1989.
  4. М.Хамермей. Теория групп. “Мир”, 1966.
  5. Г.Вейль. Теория групп и квантовая механика. - Мир, 1988.