Теорія функцій комплексної змінної

 Теорія і методи теорії функцій комплексної змінної

Лекційних годин: 34 години

Практичних занять: 17 годин

Самостійна робота: 75 годин

Кредити ECTS: 
0
2 курс (3 семестр)
Програма курсу: 
  1. Вступ. Загальні поняття Комплексні числа та операції над ними. Означення комплексного числа. Елементарні операції над комплексними числами, властивості операцій. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Тригонометрична та показникова форми комплексного числа. Добування кореня. Властивості комплексно спряжених чисел. Функції комплексної змінної. Область на комплексній площині. Межова точка. Порядок зв’язності області. Множина визначення функції. Множина значень. Однолистна функція. Однозначна функція. Неперервність функції в області. Диференційовність функції.

  2. Диференціювання функції комплексної змінної. Похідна функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Властивості аналітичних функцій. Геометричний зміст похідної функції комплексної змінної. Поняття про конформні відображення. Елементарні функції (степенева, показникова, тригонометричні та гіперболічні).

  3. Інтегрування функцій комплексної змінної Інтеграл по комплексній змінній, основні властивості. Теорема Коші для однозв’язної та багатозв’язної області. Інтеграл Коші. Виведення формули Коші та наслідки з неї. Теорема Морера. Теорема Ліувілля.

  4. застосування теорії лишків

     

  5.  

  6. Ряди аналітичних функцій. Рівномірно збіжні ряди функцій комплексної змінної, їх властивості. Степеневі ряди. Теорема Абеля та наслідки з неї. Область збіжності степеневого ряду.

  7. Ряди Тейлора та Лорана. Аналітичне продовження.  Ряд Тейлора. Деякі прийоми розкладу в степеневий ряд. Нулі регулярної функції. Обернена функція. Багатозначна функція. Точки розгалуження. Аналітичне продовження. Теорема про єдиність аналітичного продовження. Аналітичне продовження експоненти, тригонометричних та гіперболічних функцій. Ряд Лорана. Область збіжності ряду Лорана. Єдиність розкладу в ряд Лорана. Ізольовані особливі точки аналітичної функції, їх класифікація. Теорема Сохоцького.

  8. Теорія лишків та її застосування. Лишок аналітичної функції в ізольованій особливій точці. Нескінченно віддалена точка. Основна теорема теорії лишків. Обчислення визначених інтегралів за допомогою теорії лишків. Лема Жордана.

  9. Перетворення Лапласа як метод розв’язку диференціальних та інтегральних рівнянь (операційне числення). Перетворення Лапласа. Зображення елементарних функцій. Загальні властивості зображень Лапласа. Деякі теореми операційного числення (лінійності, подібності, запізнення, зсуву, диференціювання оригіналу, диференціювання зображення, інтегрування оригіналу, інтегрування зображення, диференціювання по параметру, зображення згортки, граничні теореми). Достатня умова існування зображення. Визначення оригіналу за зображенням. Формула Мелліна. Приклади використання формули Мелліна або методи обчислення оригінала за зображенням. Розв’язок диференціальних та інтегральних рівнянь за допомогою перетворень Лапласа.

Контроль знань: 

залік (2 модулі за модульно-рейтинговою системою)

Література: 

Основна

  1. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989. 480 с.

  2. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Фитматгиз, 1961.

  3. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1970. 736 с.

  4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979. 320 с.

Додаткова

  1.  Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
  2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. 432 с.

  3.  Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.3, ч.2. М.: Наука, 1974. 672 с.

  4.  Мартыненко В.С. Операционное исчисление. Киев. Изд-во КГУ, 1968. 198 с.

  5.  Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. 576 с.

  6. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

     

Додаткові відомості: