Варіаційні методи теоретичної фізики

Лекційних годин: 16 години

Практичних занять: 16 годин

Самостійна робота: 32 годин

4 курс (8 семестр)
Програма курсу: 

Варіаційне числення. Функціонал, функціональна похідна. Повна варіація функціоналу. Функціонали, залежні від вищих похідних. Умовний екстремум. Функціонали над простором. Ізопериметричні задачі.

Варіаційні принципи класичної механіки. Диференціальні варіаційні принципи Д’Аламбера, Журдена, Гауса, Герца. Рівняння руху. Інтегральні варіаційні принципи. Теорема Нетер. Принцип Гамільтона-Остроградського у конфігураційному і фазовому просторах. Принципи Лагранжа, Мопертюї, Якобі.

Варіаційні принципи електродинаміки. Принцип стаціонарної дії. Рівняння Максвелла. Інтеграли руху. Зв’язок метрики, векторів Кілінга та інтегралів руху. Гравітаційне поле.

Варіаційні принципи квантової механіки. Метод Рітца та його застосування. Одно- та багаточастинкові задачі. Метод молекулярних орбіталей. Квантова електродинаміка. Лагранжіан. Варіаційні методи в локальних теоріях.

Варіаційні принципи термодинаміки. Нерівноважна термодинаміка. Принцип взаємності Онзагера. Принципи Дярмата, Біо. Механіка суцільного середовища. Дифузія, фільтрація, термопружність, в’язкопружність, дисипативні системи.

Застосування варіаційних методів. Вибір узагальнених координат. Чисельні методи: метод найменших квадратів, метод Гальоркіна, методи нелінійного програмування. Задачі з вільними поверхнями.

Контроль знань: 

Залік (2 модулі за модульно-рейтинговою системою)

 

Перелік питань на залік:

  1. Повна варіація функціоналу. Необхідна умова екстремуму функціоналу. Рівняння Ейлера-Лагранжа.
  2. Рівн
Література: 

Основна

  1. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. --- М.: Физматгиз, 1961.
  2. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. — М.: Физматгиз. 1961.
  3. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. --- М.: Мир, 1985.
  4. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. --- М.: Энергия, 1976.
  5. Де Гроот С., Сатторп Л.Г. Єлектродинамика, — М.: Мир, 1982

Додаткова

  1. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. --- М.: Наука, 1990.
  2. Makarets M., Reshetnyak V. Ordinary differential equation and calculus of variations. --- Singapoore: World Scientific, 1995.
  3. Михлик С.Г. Численная реализация вариационніх методов. — М.: Наука, 1966.